Un modèle à deux agents des inégalités.

Cycles et fluctuations - AE2E6

Fichiers mod

Importer l’émulation Dynare.

Code

from dyno import dynare

Préférence pour la richesse et propension marginale à consommer

Pour l’instant, nous considérons un agent représentatif unique. Il peut acheter une obligation à deux périodes, qui rapporte 1 après une période. Le prix de l’obligation à la date $t$ est $q$, donc son taux d’intérêt (sans risque) est $r=1/q$.

L’agent valorise la consommation $c_t$ et la richesse $b_t q_t$, et il maximise¹ :

\[\max \sum_t \beta^t \left( \frac{c_t^{1-\frac{1}{\sigma}}}{1-\frac{1}{\sigma}}+ \varphi \frac{ (1+b_t q_t)^{1-\frac{1}{\eta}} } {1-\frac{1}{\eta}} \right)\]

sous la contrainte budgétaire

\[c_t = y_t + b_{t-1} - b_t q_t\]

où $y_t$ est un revenu exogène suivant un AR1

\[(y_t-\overline{y})=\rho (y_{t-1}-\overline{y}) + \epsilon^y_t\]

Écrivez la condition d’optimalité pour les détentions de dette.

Votre réponse ici

Quelles sont les équations qui définissent l’équilibre déterministe ?

Votre réponse ici

Inspectez et exécutez le modèle one_agent.mod. Montrez qu’il existe une racine unitaire. Pouvez-vous l’interpréter ?

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# votre code ici

Quelle est la réponse de la consommation à un choc temporaire de revenu ? À un choc permanent ? (avec autocorrélation $\rho=0.9$ et $\rho=1.0$)

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# votre code ici

Dans le modfile, ajoutez un terme de préférence pour la richesse dans la fonction d’utilité et ajustez la calibration de beta en conséquence.

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Simulez la réponse à un choc temporaire et à un choc persistant. Pour un phi donné, quel est l’effet de eta ?

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Un modèle à deux agents

Nous supposons maintenant qu’il existe deux types d’agents : les bas revenus et les hauts revenus. Les hauts revenus représentent une fraction $\chi$ de la population totale. Ensemble, ils perçoivent une fraction $z\in[0,1]$ de la production totale $y$, qui suit un processus AR1 comme dans la première partie. Le reste revient aux bas revenus.

Les hauts revenus peuvent épargner en prêtant aux bas revenus. On note $B_t$ la quantité totale d’obligations sans risque, échangées au prix $q_t$. Noter que la dette par tête est $\frac{B_t}{\chi}$ pour les hauts revenus et $\frac{B_t}{1-\chi}$ pour les bas revenus. Les hauts revenus ont une préférence pour la richesse comme dans la première partie, tandis que les bas revenus ont des préférences standards (avec $\varphi=0$).

Écrivez les équations budgétaires des deux agents. Quelles sont les nouvelles équations d’Euler ? Vérifiez la cohérence avec le modfile two_agents.mod. Quelles sont les variables par tête ?

Votre réponse ici

Quel est qualitativement l’effet d’un choc redistributif permanent ? (simulez le modèle)

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Calibration et simulation du modèle

Le modèle dans le modfile est pré-calibré pour reproduire les données américaines de 1983. On suppose que le modèle est à l’équilibre pour un niveau initial de dette $B=0.91$ (ratio dette/PIB aux États-Unis en 1983).

En prenant $\varphi=0.05$ comme constante, pour tout choix donné de $\eta$, il existe une valeur unique de $\beta$ compatible avec l’équilibre, comme dans le cas à un agent.

Nous voulons maintenant calibrer la valeur de $\eta$ pour reproduire la propension marginale à épargner des hauts revenus, qui était d’environ 50% en 1983.

Comme le modèle à deux agents est déjà calibré pour la plupart des variables, on le réutilise plutôt que d’adapter le modèle à un agent.

Dans le modèle two_agents.mod, remplacez l’équation d’Euler du bas revenu par q = 1/rbar. Justifiez pourquoi, du point de vue des hauts revenus, le modèle est alors équivalent à un modèle à un agent.

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Utilisez le modèle modifié pour calculer la propension marginale à partir d’un choc permanent de revenu après 6 périodes. Choisissez le paramètre eta pour que cette p.m.e. soit approximativement de 50%.

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Quel est l’effet d’une hausse permanente de 10% des inégalités ? Sur 30 ans et à long terme ?

Footnotes

il s’agit de la spécification de “préférence pour la richesse”↩︎

--- title: Un modèle à deux agents des inégalités. subtitle: Cycles et fluctuations - AE2E6 resources: - '*.mod' listing: id: mod-listings contents: - '*.mod' fields: - filename format: html: code-fold: true code-tools: true ipynb: default jupyter: python3 execute: eval: false --- ::: {.callout-tip title="Fichiers mod" collapse="true"} :::: {#mod-listings} :::: ::: Importer l'émulation Dynare. ```{python} from dyno import dynare ``` ## Préférence pour la richesse et propension marginale à consommer Pour l'instant, nous considérons un agent représentatif unique. Il peut acheter une obligation à deux périodes, qui rapporte 1 après une période. Le prix de l'obligation à la date $t$ est $q$, donc son taux d'intérêt (sans risque) est $r=1/q$. L'agent valorise la consommation $c_t$ et la richesse $b_t q_t$, et il maximise[^footnote] : $$\max \sum_t \beta^t \left( \frac{c_t^{1-\frac{1}{\sigma}}}{1-\frac{1}{\sigma}}+ \varphi \frac{ (1+b_t q_t)^{1-\frac{1}{\eta}} } {1-\frac{1}{\eta}} \right)$$ sous la contrainte budgétaire $$c_t = y_t + b_{t-1} - b_t q_t$$ où $y_t$ est un revenu exogène suivant un AR1 $$(y_t-\overline{y})=\rho (y_{t-1}-\overline{y}) + \epsilon^y_t$$ [^footnote]: il s'agit de la spécification de "préférence pour la richesse" @. __Écrivez la condition d'optimalité pour les détentions de dette.__ ```{markdown} Votre réponse ici ``` @. __Quelles sont les équations qui définissent l'équilibre déterministe ?__ ```{markdown} Votre réponse ici ``` @. __Inspectez et exécutez le modèle `one_agent.mod`. Montrez qu'il existe une racine unitaire. Pouvez-vous l'interpréter ?__ ```{python} # votre code ici ``` @. __Quelle est la réponse de la consommation à un choc temporaire de revenu ? À un choc permanent ? (avec autocorrélation $\rho=0.9$ et $\rho=1.0$)__ ```{python} # votre code ici ``` @. __Dans le modfile, ajoutez un terme de préférence pour la richesse dans la fonction d'utilité et ajustez la calibration de `beta` en conséquence.__ ```{python} # votre code ici ``` @. __Simulez la réponse à un choc temporaire et à un choc persistant. Pour un `phi` donné, quel est l'effet de `eta` ?__ ```{python} # votre code ici ``` ## Un modèle à deux agents Nous supposons maintenant qu'il existe deux types d'agents : les bas revenus et les hauts revenus. Les hauts revenus représentent une fraction $\chi$ de la population totale. Ensemble, ils perçoivent une fraction $z\in[0,1]$ de la production totale $y$, qui suit un processus AR1 comme dans la première partie. Le reste revient aux bas revenus. Les hauts revenus peuvent épargner en prêtant aux bas revenus. On note $B_t$ la quantité totale d'obligations sans risque, échangées au prix $q_t$. Noter que la dette par tête est $\frac{B_t}{\chi}$ pour les hauts revenus et $\frac{B_t}{1-\chi}$ pour les bas revenus. Les hauts revenus ont une préférence pour la richesse comme dans la première partie, tandis que les bas revenus ont des préférences standards (avec $\varphi=0$). @. __Écrivez les équations budgétaires des deux agents. Quelles sont les nouvelles équations d'Euler ? Vérifiez la cohérence avec le modfile `two_agents.mod`. Quelles sont les variables par tête ?__ ```{markdown} Votre réponse ici ``` @. __Quel est qualitativement l'effet d'un choc redistributif permanent ? (simulez le modèle)__ ```{python} # votre code ici ``` ## Calibration et simulation du modèle Le modèle dans le modfile est pré-calibré pour reproduire les données américaines de 1983. On suppose que le modèle est à l'équilibre pour un niveau initial de dette $B=0.91$ (ratio dette/PIB aux États-Unis en 1983). En prenant $\varphi=0.05$ comme constante, pour tout choix donné de $\eta$, il existe une valeur unique de $\beta$ compatible avec l'équilibre, comme dans le cas à un agent. Nous voulons maintenant calibrer la valeur de $\eta$ pour reproduire la propension marginale à épargner des hauts revenus, qui était d'environ 50% en 1983. Comme le modèle à deux agents est déjà calibré pour la plupart des variables, on le réutilise plutôt que d'adapter le modèle à un agent. @. __Dans le modèle `two_agents.mod`, remplacez l'équation d'Euler du bas revenu par `q = 1/rbar`. Justifiez pourquoi, du point de vue des hauts revenus, le modèle est alors équivalent à un modèle à un agent.__ ```{python} # votre code ici ``` @. __Utilisez le modèle modifié pour calculer la propension marginale à partir d'un choc permanent de revenu après 6 périodes. Choisissez le paramètre `eta` pour que cette p.m.e. soit approximativement de 50%.__ ```{python} # votre code ici ``` @. __Quel est l'effet d'une hausse permanente de 10% des inégalités ? Sur 30 ans et à long terme ?__